Question

【题目】已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°.则球O的体积为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

计算可知三棱锥P－ABC的三条侧棱互相垂直，可得球O是以PA为棱的正方体的外接球，球的直径，即可求出球O的体积.

在△PAC中，设，，，，

因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以，

在△PAC中，，

在△EAC中，，

整理得，

因为△ABC是边长为的正三角形，所以，

又因为∠CEF=90°，所以，

所以，

所以.

又因为△ABC是边长为的正三角形，

所以PA,PB,PC两两垂直，

则球O是以PA为棱的正方体的外接球，

则球的直径，

所以外接球O的体积为.

故选D.