Question

10．已知函数f（x）=lg（-x²+4x-3）的定义域为M．
（1）求f（x）的定义域M；
（2）求当x∈M时，求函数g（x）=4^x-a•2^x+1（a为常数，且a∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数大于0，列出不等式求出解集即可；
（2）由x∈M时，求出2^x的取值范围，由此讨论a的取值，从而求出g（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lg（-x²+4x-3），
∴-x²+4x-3＞0，
即（x-1）（x-3）＜0，
解得1＜x＜3，
∴f（x）的定义域M=（1，3）；
（2）当x∈M时，即x∈（1，3），∴2^x∈（2，8）；
∴函数g（x）=4^x-a•2^x+1=（2^x）²-2a•2^x=（2^x-a）²-a²；
当a≤2时，g（x）在x∈（1，3）上是增函数，
∴g（x）的最小值是g（1）=4-4a，最大值是g（3）=64-16a，
g（x）的值域是[4-4a，64-16a]；
当2＜a≤5时，g（x）在x∈（1，3）上先减后增，
∴g（x）的最小值是-a²，最大值是g（3）=64-16a，
g（x）的值域是[-a²，64-16a]；
当5＜a＜8时，g（x）在x∈（1，3）上先减后增，
∴g（x）的最小值是-a²，最大值是g（1）=4-4a，
g（x）的值域是[-a²，4-4a]；
当a≥8时，g（x）在x∈（1，3）上是减函数，
∴g（x）的最小值是g（3）=64-16a，最大值是g（1）=4-4a，
g（x）的值域是[64-16a，4-4a]；
综上，a≤2时，g（x）的值域是[4-4a，64-16a]，
2＜a≤5时，g（x）的值域是[-a²，64-16a]，
5＜a＜8时，g（x）的值域是[-a²，4-4a]，
a≥8时，g（x）的值域是[64-16a，4-4a]．

点评 本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．