Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，O是线段AD的中点，过E作直线l∥AB，F是直线l上一动点．
（1）求证：OF⊥BC；
（2）若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直，求二面角B-OF-C的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵EA=ED，O是AD的中点，∴EO⊥DA，
∵面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD=AD，
∴EO⊥面ABCD，∴EO⊥BC
∵EF∥AB，BC⊥AB，∴EF⊥BC
∵EO∩EF=E
∴BC⊥面EOF
∵OF?面EOF，∴OF⊥BC；
（2）解：设BC的中点为M，连接OM，FM，设OM的中点为N，连接FN
∵EF∥AB，OM∥AB，∴EF∥OM，∴E，F，O，M四点共面
∵OF⊥BC，∴OF⊥面FBC等价于OF⊥FM，
∴直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直，即等价于以OM为直径的圆与直线l相切，F恰为切点，NF⊥EF
∴直线l与直线OM的距离为1，故NF=1
∵OE⊥EF，NF⊥EF，OE，NF共面，∴NF∥OE
∵EO⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD
在直角△FNB和△FNC中，BF=CF=
∵OF⊥面FBC，∴OF⊥BF，OF⊥CF
∴∠BFC为二面角B-OF-C的平面角
∴在△BFC中，BF=CF=，BC=2，cos∠BFC==．
分析：（1）先证EO⊥面ABCD，进而可得BC⊥面EOF，从而可证OF⊥BC；
（2）判断∠BFC为二面角B-OF-C的平面角，计算出BF=CF=，利用余弦定理可求二面角B-OF-C的余弦值．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定定理，正确作出面面角．