Question

在平面直角坐标系中定义两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的交通距离为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（　　）

• A、1
• B、5

  2

• C、4
• D、5（

  2

  +1）

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：新定义

分析：根据已知条件可推断出|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．

解答： 解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，
所以|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|…（1）
当y≥9时，（1）化为|x-1|+6=|x-6|，无解；
当y≤3时，（1）化为|x-1|=6+|x-6|，无解；
当3≤y≤9时，（1）化为2y-12=|x-6|-|x-1|．
若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；
若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5

2

；
若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．
综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为
1+5

2

+4=5（1+

2

），
故选：D．

点评：本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．