题目内容
【题目】已知椭圆C: 的左焦点F为圆
的圆心,且椭圆C上的点到点F的距离最小值为
。
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知经过点F的动直线与椭圆C交于不同的两点A、B,点M坐标为(
),证明:
为定值。
【答案】(1)(2)
为定值,且定值为
【解析】试题分析:(1)椭圆C上的点到点F的距离最小值为,即
,根据圆标准方程可得圆心坐标,即得
,解得
,b=1(2)以算代证:设
,
,直线
的方程为
,则利用向量数量积得
,结合直线方程化简得
,最后联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简即得
为定值
试题解析:解:(Ⅰ)因为圆的圆心为
,半径为
,所以椭圆的半焦距
,又椭圆上的点到点F的距离最小值为
所以,即
所以,所求椭圆方程为:
(Ⅱ)①当直线与
轴垂直时,直线
的方程为:
,
可求得,
此时,
②当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
由 得
设,
则
,
,则
所以为定值,且定值为
。
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