题目内容
【题目】已知圆,圆,如图,C1,C2分别交x轴正半轴于点E,A.射线OD分别交C1,C2于点B,D,动点P满足直线BP与y轴垂直,直线DP与x轴垂直.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点E作直线l交曲线C与点M,N,射线OH⊥l与点H,且交曲线C于点Q.问:的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
【答案】(1);(2)为定值,且为.
【解析】
(1)设,根据圆的方程求出的坐标,进而可得,,然后得出动点P的轨迹C的方程.
(2)设出直线l的方程为,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理,结合弦长公式,转化求解即可.
(1)设,则,,
所以,,
所以动点的轨迹C的方程为.
(2)由(1)可知E为C的焦点,设直线l的方程为(斜率不为0时),
且设点M(x1,y1),N(x2,y2),由,
得,
所以,所以,
又射线OQ方程为y=﹣mx,代入椭圆C的方程得x2+2(my)2=4,
即,
又当直线l的斜率为0时,也符合条件.
综上,为定值,且为.
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