Question

【题目】已知数列， 满足， ，且， .

（1）求及；

（2）猜想， 的通项公式，并证明你的结论；

（3）证明：对所有的， .

Answer 1

【答案】（1）， ， ， ， ， ；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）依次把n=1，2，3代入递推式即可求出{an}，{bn}的前4项；
（2）利用数学归纳法证明猜想；
（3）利用放缩法证明不等式左边，利用函数单调性证明不等式右边．

试题解析：

（1）因为， ，且，

令，得到解得， ；同理令分别解得由此可得， ，

， ；

（2）证明：猜测， ，

用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.

②假设当时，结论成立，即， ，

那么当时， ，

，所以当时，结论也成立.

由①②，可知， 对一切正整数都成立.

（3）由（2）知， ，

于是所证明的不等式即为

（ⅰ）先证明：

因为，所以，从而，

即，所以

（ⅱ）再证明

设函数， ，则， .

因为在区间上为增函数，

所以当时， ，

从而在区间上为单调递减函数，

因此对于一切都成立，因为当时， ，

所以

综上所述，对所有的，均有成立.