Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（0，-2），当k为何值时：
（1）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$共线；
（2）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为120°；
（3）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的模等于$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）求得向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，由向量共线的坐标表示，解方程可得k；
（2）由向量的夹角公式，解方程即可得到k；
（3）运用向量的模的公式，计算即可得到所求k．

解答 解：（1）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（k，k+2），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，-1），
由k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$共线，可得-k=k+2，
解得k=-1，
即k=-1时，k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$共线；
（2）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（k，k+2），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，-1），
|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2{k}^{2}+4k+4}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
由题意可得cos120°=$\frac{（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{-2}{\sqrt{2{k}^{2}+4k+4}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得k=-1±$\sqrt{7}$．
即k=-1±$\sqrt{7}$时，k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为120°；
（3）由题意可得|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2{k}^{2}+4k+4}$=$\sqrt{10}$，
解得k=-3或1．
即k=-3或1时，k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的模等于$\sqrt{10}$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示和向量的夹角公式，以及向量的模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．