题目内容

11.现代城市大多是棋盘式布局(如上海道路几乎都是东西和南北走向).在这样的城市中,我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离(位移),而是实际路程(如图).在直角坐标平面内,我们定义A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间的“直角距离”为:D(AB)=|x1-x2|+|y1-y2|.
(1)在平面直角坐标系中,写出所有满足到原点的“直角距离”
为2的“格点”的坐标;(格点指横、纵坐标均为整数的点)
(2)定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形,点A(1,3),B(1,1),C(3,3),求经过这三个点确定的一个“圆”的方程,并画出大致图象;
(3)设P(x,y),集合B表示的是所有满足D(PO)≤1的点P所组成的集合,
点集A={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},
求集合Q={(x,y)|x=x1+x2,y=y1+y2,(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}所表示的区域的面积.

分析 (1)由题意可得|x|+|y|=2,从而写出格点即可;
(2)设定点坐标为(a,b),定值为r,从而可得“圆”的方程为|x-a|+|y-b|=r,从而解得“圆”的方程为|x-2|+|y-2|=2,作其图象即可;
(3)由题意,B={(x,y)||x|+|y|≤1},从而可得|x-x1|+|y-y1|≤1,从而可得点集Q表示以点A内的点为定点,1为定长的“圆”及其内部,从而求面积.

解答 解:(1)(0,2)、(1,1)、(2,0)、(1,-1)、(0,-2)、(-1,-1)、(-2,0)、(-1,1);
(2)设定点坐标为(a,b),定值为r,
则“圆”的方程为|x-a|+|y-b|=r.
则$\left\{{\begin{array}{l}{|a-1|+|b-3|=r}\\{|a-1|+|b-1|=r}\\{|a-3|+|b-3|=r}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{r=2}\end{array}}\right.}\right.$.
“圆”的方程为|x-2|+|y-2|=2.
作其图象如下,

(3)B={(x,y)||x|+|y|≤1},
∵$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}+{x}_{2}}\\{y={y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=x-{x}_{1}}\\{{y}_{2}=y-{y}_{1}}\end{array}\right.$,
∵(x2,y2)∈B,
∴|x2|+|y2|≤1,
即|x-x1|+|y-y1|≤1,
∵点集A表示以原点为中心,边长为2的正方形及其内部,
∴点集Q表示以点A内的点为定点,1为定长的“圆”及其内部.
面积$S=4×4-\frac{1}{2}×1×1×4=14$.

点评 本题考查了学生的接受能力与应用能力,同时考查了学生的作图能力.

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