题目内容
15．若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）| A． | （-∞，$\frac{51}{8}$] | B． | （-∞，3] | C． | [$\frac{51}{8}$，+∞） | D． | [3，+∞） |
分析 由题意可得f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．
解答 解：∵函数f（x）=x3-tx2+3x，
∴f′（x）=3x2-2tx+3，
若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，
则f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，
∴t≥$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，4]上恒成立，
令y=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，
当x=4时，函数取最大值$\frac{51}{8}$，
∴t≥$\frac{51}{8}$，
即实数t的取值范围是[$\frac{51}{8}$，+∞），
故选：C
点评 本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．
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