Question

14．已知点A（3，2），点M到F（$\frac{1}{2}$，0）的距离比它到y轴的距离大$\frac{1}{2}$．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）是否存在M，使|MA|+|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出M坐标（x，y），当x≥0时由题意列出满足条件的等式，化简后得到M的轨迹方程；再由题意得到x轴负半轴上的点也满足条件．两种情况结合一起得到点M的轨迹方程．
（2）把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y²=2x 解得x值，即得M的坐标．

解答 解：（1）设M（x，y），则|MF|=$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，
当x≥0时，M到y轴的距离为x．
由M到点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离比它到y轴的距离大$\frac{1}{2}$，得$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=x+$\frac{1}{2}$．
两边平方并整理得：y²=2x；
当x＜0时，由题意可得M的轨迹为y=0（x＜0），此时符合题意．
综上，点M的轨迹方程为y²=2x或y=0（x＜0）．
（2）设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．
把 y=2代入抛物线y²=2x 得 x=2，故点M的坐标是（2，2）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查抛物线的定义和性质应用，解答的关键是不要漏掉x轴负半轴，利用抛物线定义，体现了转化的数学思想，是中档题．