Question

（2013•淄博二模）等比数列{c_n}满足cn+1+cn=10•4n-1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为S_n，且a_n=log₂c_n．
（I）求a_n，S_n；
（II）数列{bn}满足bn=

1

4Sn-1

，Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，（m＞1），使得T₁，T_m，T_6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知结合等比数列的性质可求q=

c2+c3

c1+c2

，然后利用已知递推公式，令n=1可求c₁，从而可求c_n，进而可求a_n，由等差数列的求和公式可求s_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和可求T_n，然后假设存在正整数m（m＞1）满足题意，则由等比数列的 性质可建立关于m的方程，求解即可

解答：解：（Ⅰ）c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，
所以公比q=

c2+c3

c1+c2

=4…（2分）
由c₂+c₁=c₁+4c₁=10得c₁=2
所以cn=2•4n-1=22n-1…（4分）
所以an=log222n-1=2n-1…（5分）
由等差数列的求和公式可得，Sn=

n(a 1+an)

2

=

n[1+(2n-1)]

2

=n2…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
于是Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

…（8分）
假设存在正整数m（m＞1），使得T₁，T_m，T_6m成等比数列，
则(

m

2m+1

)2=

1

3

×

6m

12m+1

，…（10分）
整理得4m²-7m-2=0，
解得m=-

1

4

或 m=2
由m∈N^*，m＞1，得m=2，
因此，存在正整数m=2，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列    …（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的求解，等差数列的求和公式及数列的裂项求和方法的应用．