题目内容
【题目】某游戏棋盘上标有第、
、
、
、
站,棋子开始位于第
站,选手抛掷均匀硬币进行游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第
站或第
站时,游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第
站的概率为
.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币次后,求棋子所走站数之和
的分布列与数学期望;
(2)证明:;
(3)若最终棋子落在第站,则记选手落败,若最终棋子落在第
站,则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
【答案】(1)分布列见解析,数学期望;(2)见解析;(3)游戏不公平.
【解析】
(1)由题意得出随机变量的可能取值有
、
、
、
,求出相应的概率,由此可得出随机变量
的分布列,并计算出随机变量
的数学期望;
(2)棋子要到第站,分两种情况讨论:一是由第
站跳
站得到,二是由第
站跳
站得到,可得出
,变形后可得出结论;
(3)根据(2)中的的递推公式得出
和
的大小关系,从而得出结论.
(1)由题意可知,随机变量的可能取值有
、
、
、
,
,
,
,
.
所以,随机变量的分布列如下表所示:
所以,;
(2)依题意,当时,棋子要到第
站,有两种情况:
由第站跳
站得到,其概率为
;
可以由第站跳
站得到,其概率为
.
所以,.
同时减去得
;
(3)依照(2)的分析,棋子落到第站的概率为
,
由于若跳到第站时,自动停止游戏,故有
.
所以,即最终棋子落在第
站的概率大于落在第
站的概率,游戏不公平.
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