Question

【题目】已知抛物线的焦点为，直线与相切于点，

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线交于两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 最小值为，此时直线的方程为

【解析】

（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；

（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．

（Ⅰ）设，联立方程，得

由，得

，解得

故抛物线的方程为

（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4n＝0，

△＝16m2+16n＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，

|AB|8，

可得nm2，

2m，2m2+nm2

m2+1﹣1≥21＝3，

当且仅当m2+1，即m2＝1，即m＝±1，

T到y轴的距离的最小值为3，

此时n＝1，直线的方程为x±y﹣1＝0.