Question

【题目】设数列的前项和为，已知，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）根据题意，由2Sn＝（1）an+1可得2Sn﹣1＝（1）an，两式相减可得（1）（an+1﹣3an）＝0，变形可得：an+1＝3an，据此分析可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的通项公式分析可得结论；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，an＝3n﹣1，结合bn＝（﹣1）n（log3an）2，分析可得数列{bn}的通项，分析可得b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3，由此分析可得答案．

（1）根据题意，数列{an}满足2Sn＝（1）an+1，①

则有2Sn﹣1＝（1）an，②

①﹣②可得：（1）（an+1﹣3an）＝0，

变形可得：an+1＝3an，

又由a1＝1，2a1＝2S1＝（1）a2，解可得a2＝3，所以a2＝3a1

则数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n﹣1；

（2）由（1）的结论，an＝3n﹣1，

则bn＝（﹣1）n（log3an）2＝（﹣1）n（log3（3n﹣1）]2＝（﹣1）n（n﹣1）2，

则b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3；

数列{bn}的前2n项和T2n＝1+5+9+……+（4n﹣3）2n2﹣n．