题目内容
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时.
•
的最大值为______.
PM |
PN |
设点O是此正方体的内切球的球心,半径R=1.
∵
•
≤|
| |
|,∴当点P,M,N三点共线时,
•
取得最大值.
此时
•
≤(
-
)•(
+
),而
=
,
∴
•
≤
2-R2=
2-1,
当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值,
∴(
•
)max=(
)2-1=2.
故答案为2.
∵
PM |
PN |
PM |
PN |
PM |
PN |
此时
PM |
PN |
PO |
MO |
PO |
ON |
MO |
ON |
∴
PM |
PN |
PO |
PO |
当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值,
∴(
PM |
PN |
2
| ||
2 |
故答案为2.
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