Question

【题目】已知数列中，，设．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的前项和为，求满足的的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）10.

【解析】

（1）将数列的递推公式变形，可得an+1-1＝2（an-1），即可得到结论；（2）先求数列{an}的通项公式；利用分组求和，求前n项和,通过不等式可得n的最值.

（1）证明：∵an+1＝2an﹣1（n∈N*），∴an+1﹣1＝2（an﹣1），a1＝3，

∴{an-1}是以a1﹣1＝2为首项，2为公比的等比数列；

即数列{bn}是等比数列；

（2）由（1）知，an﹣1＝2n，∴an＝2n+1；

数列{an}的前n项和为Sn＝+n＝2n+1﹣2+n．

Sn＞2019，可得，

满足Sn＞2019的n的最小值n＝10．