Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ ﹣2alnx（a∈R） （Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， 依题意有：f'（2）=0，即 ，
解得：
检验：当 时，

此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
满足在x=2时取得极值
综上： ．
（Ⅱ）依题意有：fmin（x，）≥0
，
令f′（x）=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①当2a﹣1≤1即a≤1时，
函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
则f（x）在[1，+∞）单调递增，
于是fmin（x）=f（1）=2﹣2a≥0，
解得：a≤1；
②当2a﹣1＞1即a＞1时，
函数f（x）在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞）单调递增，
于是fmin（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合题意，
此时：a∈Φ；
综上所述：实数a的取值范围是a≤1
【解析】（Ⅰ）由 ，依题意有：f'（2）=0，即 ，通过检验满足在x=2时取得极值．（Ⅱ）依题意有：fmin（x，）≥0从而 ，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通过讨论①当2a﹣1≤1即a≤1时②当2a﹣1＞1即a＞1时，进而求出a的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．