Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n=1，2，3…）．令b_n=a_n-2n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）令cn=

1

bn+1

，记T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1，比较T_n与

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据Sn与an的固有关系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，由已知可得a_n+1=2a_n-2n+2，转化构造数列{b_n}．研究其性质．
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=a_n-2n=2ⁿ  得 _^， cn=

1

bn+1

_⁼

1

2n+1

，∴2 ^n-1 c_nc_n+1=

1

2

×（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

），T_n可求其表达式，再进行证明．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴b_n=a_n-2n是以2为公比的等比数列             
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+2n．
b_n=a_n-2n=2ⁿ cn=

1

bn+1

=

1

2n+1

T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1
=

1

21+1

×

1

22+1

+2×

1

22+1

×

1

23+1

+…+2^n-1×

1

2n+1

×

1

2n+1+1

=

1

2

×（

1

21+1

-

1

22+1

）+

1

2

×（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+

1

2

×（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）
=

1

2

×（

1

21+1

-

1

2n+1+1

）
=

1

6

-

1

2n+2+2

∴Tn＜

1

6

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式、数列求和，不等式的证明，考查转化构造、计算能力．