题目内容
【题目】已知是椭圆:()与抛物线:的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.
(Ⅰ)求椭圆及抛物线的方程;
(Ⅱ)设过且互相垂直的两动直线,与椭圆交于两点,与抛物线交于两点,求四边形面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为,抛物线的方程为;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据是椭圆:()与抛物线:的一个公共点,可求得,从而可得相同的焦点的坐标,结合,即可求得与,从而可得椭圆及抛物线的方程;(Ⅱ)由题可知直线斜率存在,设直线的方程,,当时,求出,当时,直线的方程为,结合韦达定理及弦长公式求得及,表示出,通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值.
(Ⅰ)抛物线:一点
,即抛物线的方程为,
又在椭圆:上
,结合知(负舍), ,
椭圆的方程为,抛物线的方程为.
(Ⅱ)由题可知直线斜率存在,设直线的方程,
①当时,,直线的方程,,故
②当时,直线的方程为,由得.
由弦长公式知 .
同理可得.
.
令,则,当时,,
综上所述:四边形面积的最小值为8.
【题目】为调查中国及美国的高中生在“家”、“朋友聚集的地方”、“个人空间”这三个场所中感到最幸福的场所是哪个,从中国某城市的高中生中随机抽取了55人,从美国某城市高中生中随机抽取了45人进行答题。中国高中生的答题情况:选择“家”的高中生的人数占,选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占,选择“个人空间”的高中生的人数占,美国高中生的答题情况:选择“家”的高中生的人数占,选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占,选择“个人空间”的高中生的人数占。
(1)请根据以上调查结果将下面的2X2列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为恋家(在家里感到最幸福)与国别有关;
在家里感到最幸福 | 在其他场所感到最幸福 | 总计 | |
中国高中生 | |||
美国高中生 | |||
总计 |
(2)从被调查的不“恋家”的美国高中生中,用分层抽样的方法随机选出4人接受进一步调查,再从4人中随机选出2人到中国交流学习,求2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率。
| 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.8 |
附: