Question

【题目】已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量 =（1，bn）， =（an﹣1，Sn）， ∥ ．
（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；
（2）若bn= ，a2=0．
①证明：数列{an}为等差数列；
②设数列{cn}满足cn= ，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 =（1，bn）， =（an﹣1，Sn）， ∥ ．

得Sn=（an﹣1）bn，当bn=2，则Sn=2an﹣2 ①，

当n=1时，S1=2a1﹣2，即a1=2，

又Sn+1=2an+1﹣2 ②，

②﹣①得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an，

即an+1=2an，又a1=2，

所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以an=2n．

（2）解：①证明：因为 ，则2Sn=nan﹣n③，

当n=1时，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1，

又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④，

④﹣③得

2Sn+1﹣2Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣1，

即（n﹣1）an+1﹣nan﹣1=0 ⑤，

又nan+2﹣（n+1）an+1﹣1=0⑥

⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan=0，

即an+2+an=2an+1，所以数列{an}是等差数列．

②又a1=﹣1，a2=0，

所以数列{an}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．

an=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以 ，

假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比数列，即 ，

可得 ，

整理得5lm﹣4l=4m+4即 ，由 ，得1≤m≤8，

一一代入检验 或 或 或 或 或 或 或

由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．

【解析】（1）利用两个向量平行的坐标关系得到Sn=（an﹣1）bn ， 进一步对n取值，得到数列{an}是等差数列；（2）①由 ，则2Sn=nan﹣n③，又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④，两式相减即可得到数列{an}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{an}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．
②由①得到数列{cn}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值．
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．