题目内容
已知函数f(x)=
：
（1）写出此函数的定义域和值域；
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；
（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．
| x+3 |
| x |
（1）写出此函数的定义域和值域；
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；
（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．
（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f(x)=1+
，∴值域为{y|y≠1}．
（2）证明：设0＜x1＜x2，
则：f(x2)-f(x1)=(1+
)-(1+
)=
-
=
，
∵0＜x1＜x2，∴x1•x2＞0，x1-x2＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
（3）函数定义域关于原点对称，
设g(x)=(x-3)f(x)=
，
∵g(-x)=
=-g(x)，
∴此函数为奇函数．
f(x)=1+
| 3 |
| x |
（2）证明：设0＜x1＜x2，
则：f(x2)-f(x1)=(1+
| 3 |
| x2 |
| 3 |
| x1 |
| 3 |
| x2 |
| 3 |
| x1 |
| 3(x1-x2) |
| x1•x2 |
∵0＜x1＜x2，∴x1•x2＞0，x1-x2＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
（3）函数定义域关于原点对称，
设g(x)=(x-3)f(x)=
| x2-9 |
| x |
∵g(-x)=
| x2-9 |
| -x |
∴此函数为奇函数．
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的两根为
函数
=
的值. （2）.证明：
上是增函数.（3）.对任意正数
,求证：
上的函数
满足下列条件：1对定义域内任意
，恒有
；2当
时
；3
（1）求
的值；
上为减函数；（3）解不等式 ：
是偶函数，其定义域为
，且在
上是减函数，则
的大小关系是（ ）
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