题目内容
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BC上异于端点的点，
（1）证明△B1MN不可能是直角三角形；
（2）如果M，N分别是棱AB，BC的中点，
（ⅰ）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（ⅱ）若在棱BB1上有一点P，使得B1D∥面PMN，求B1P与PB的比值．
（1）证明△B1MN不可能是直角三角形；
（2）如果M，N分别是棱AB，BC的中点，
（ⅰ）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（ⅱ）若在棱BB1上有一点P，使得B1D∥面PMN，求B1P与PB的比值．
（1）用反证法．如果△B1MN是直角三角形，
不妨设∠B1MN=
，则MN⊥B1M，（1分）
而B1B⊥面ABCD，MN?面ABCD，∴B1B⊥MN，B1B∩B1M=B1，∴MN⊥面ABB1A1，∵AB?面ABB1A1，（2分）∴MN⊥AB，即∠BMN=
，与∠MBN=
矛盾！（3分）∴△B1MN不可能是直角三角形．（4分）
（2）连接MN，设MN∩BD=Q则MN∥AC（5分）
∴AC⊥BD，MN⊥BD（7分）
又∵DD1⊥面ABCD∴DD1⊥MN
∴平面B1MN⊥面BDD1（9分）
（3）连接PM，PN则面PMN∩面BDD1=PQ（10分）
当BD1∥PQ时，BD1∥面PMN（11分）
又M，N分别是AB，BC中点
=
；
=
=
．
不妨设∠B1MN=
| π |
| 2 |
而B1B⊥面ABCD，MN?面ABCD，∴B1B⊥MN，B1B∩B1M=B1，∴MN⊥面ABB1A1，∵AB?面ABB1A1，（2分）∴MN⊥AB，即∠BMN=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）连接MN，设MN∩BD=Q则MN∥AC（5分）
∴AC⊥BD，MN⊥BD（7分）
又∵DD1⊥面ABCD∴DD1⊥MN
∴平面B1MN⊥面BDD1（9分）
（3）连接PM，PN则面PMN∩面BDD1=PQ（10分）
当BD1∥PQ时，BD1∥面PMN（11分）
又M，N分别是AB，BC中点
| BQ |
| QD |
| 1 |
| 3 |
| D1P |
| PD |
| BQ |
| QD |
| 1 |
| 3 |
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