题目内容
【题目】设函数 (b≠0).
(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围;
(2)求函数f(x)的极值点;
(3)令b=1, ,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),C(x3 , y3)是曲线y=g(x)上相异三点,其中﹣1<x1<x2<x3 . 求证: .
【答案】
(1)解: ,∵函数f(x)在定义域上是单调函数,
∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(﹣1,+∞)上恒成立.
若f'(x)≥0恒成立,得 .
若f'(x)≤0恒成立,即 恒成立.
∵ 在(﹣1,+∞)上没有最小值,
∴不存在实数b使f'(x)≤0恒成立.
综上所述,实数b的取值范围是 .
(2)由(1)知当 时,函数f(x)无极值点.
当 时,f(x)=0有两个不同解, , ,
∵b<0时, , ,
即x1(﹣1,+∞),x2∈(﹣1,+∞),
∴b<0时,f(x)在(﹣1,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,f(x)有唯一极小值点 ;
当 时, .
∴x1,x2∈(﹣1,+∞),f(x)=0在(﹣1,x1)上递增,在(x1,x2)递减,
在(x2,+∞)递增,f(x)有一个极大值点 和一个极小值点 .
综上所述,b<0时,f(x)有唯一极小值点 ,
时,f(x)有一个极大值点 和一个极小值点 ;
时,f(x)无极值点.
(3)先证: ,即证 ,
即证 = ,
令 (t>1), , ,
所以 在(1,+∞)上单调递增,
即p(t)>p(1)=0,即有 ,所以获证.
同理可证: ,
所以 .
【解析】(1)对函数f(x)进行求导,要使得函数f(x)在定义域上是单调函数,只需要f'(x)≥0或f'(x)≤0在(﹣1,+∞)上恒成立,进行参变分离分类讨论得出实数b的取值范围,(2)当b ≥ 时,函数f(x)无极值点,当b<时,利用求根公式可得到f'(x)=0有两个不同解,且当b<0时,可判断出x1(﹣1,+∞),x2∈(﹣1,+∞),此时可得到极值点,当 0 < b < 时,x1,x2∈(﹣1,+∞),可得到此时f(x)的单调区间及极值点,(3)先证: > g ' ( x 2 ) ,即证> 1 +,令=t(t>1) ,构造函数p(t)=lnt+-1,通过求导可得出 p(t)>p(1)=0,即有 l n t + 1 > 0 ,所以获证,同理可证:< g ' ( x 2 ),从而结论得证.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.