Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，$f（x）=\frac{1}{2}（|{x-{a^2}}|-3{a^2}）$，若?x∈R，f（x-1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）

• A． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$
• B． $[-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}]$
• C． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• D． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得4a²-（-4a²）≤1，求解该不等式得答案．

解答 解：当x≥0时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（x-4{a}^{2}），x≥{a}^{2}}\\{\frac{1}{2}（-x-2{a}^{2}），0≤x＜{a}^{2}}\end{array}\right.$，
由f（x）=$\frac{1}{2}（x-4{a}^{2}）$，x≥a²，得f（x）≥-$\frac{3}{2}$a²；
由f（x）=$\frac{1}{2}（-x-2{a}^{2}）$，0≤x＜a²，得f（x）＞-$\frac{3}{2}$a²．
∴当x≥0时，$f（x）_{min}=-\frac{3}{2}{a}^{2}$．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，$f（x）_{max}=\frac{3}{2}{a}^{2}$．
∵对?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），如图，
∴4a²-（-4a²）≤1，即8a²≤1，解得：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴实数a的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．
故选：A．

点评 本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对?x∈R，都有f（x-1）≤f（x）得到不等式4a²-（-4a²）≤1，是中档题．