Question

1．定义域为R的函数f（x）满足：对任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x≥0时，有0＜f（x）＜1，f（4）=$\frac{1}{16}$．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）＞0在R上恒成立；
（3）证明：f（x）在R上是减函数；
（4）若x＞0时，不等式f（x+ax）＞f（2+x²）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取特殊值的方法：令m=n=0，可得f（0）=1；
（2）设m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1），根据定义形式得出当x＜0时f（x）＞1，得出结论成立；
（3）利用定义法）?x₁＜x₂∈R，判断f（x₂）-f（x₁）的正负；
（4）由（3）可整理不等式a＜$\frac{2}{x}$+x-1，只需求出右式的最小值即可．

解答 解：（1）令m=n=0，
∴f（0）=f（0）f（0），0＜f（0）＜1，
∴f（0）=1；
（2）设m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）
∴f（m+n）=f（m）f（n）=f（0）=1，
∴f（m）＞1，即当x＜0时f（x）＞1　…（4分）
故f（x）＞0在R上恒成立；
（3）?x₁＜x₂∈R，则x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）
=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0
∴f（x）在R 上单调递减．　　　
（4）f（x+ax）＞f（2+x²）恒成立，
∴x+ax＜2+x²恒成立，
∴a＜$\frac{2}{x}$+x-1，
令g（x）=$\frac{2}{x}$+x，知当x＞0时，g（x）≥2$\sqrt{2}$，
∴a＜2$\sqrt{2}$-1．

点评 考查了特殊值法求抽象函数问题，利用定义证明函数的单调性，利用单调性解决不等式问题和恒成立问题的转换．