Question

7．设x，y，z∈R，且$\frac{（x-1）^{2}}{16}$+$\frac{（y+2）^{2}}{5}$+$\frac{（z-3）^{2}}{4}$=1，求x+y+z最大值与最小值．

Answer 1

分析 将式子x+y+z写成4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$+2的形式是解决本题的关键，再运用柯西不等式求该式的最大值和最小值．

解答 解：∵x+y+z=4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$+2，
根据柯西不等式，（x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂）²≤（x₁²+y₁²+z₁²）•（x₂²+y₂²+z₂²）得，
（4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$）²≤（16+5+4）•[$\frac{（x-1）^2}{16}+\frac{（y+2）^2}{5}+\frac{（z-3）^2}{4}$]=25，
所以，|4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$|≤5，
即-5≤4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$≤5，
因此，x+y+z∈[-3，7]，
故，x+y+z的最大值为7，最小值为-3．

点评 本题主要考查了柯西不等式在求最值中的应用，尤其是通过合理变形找到条件和目标之间的关联，需要一定的观察能力和计算技巧，属于中档题．