题目内容
【题目】已知椭圆,过椭圆
右顶点和上顶点的直线
与圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
的上顶点,过点
分别作直线
交椭圆
于
两点,设这两条直线的斜率分别为
,且
,证明:直线
过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:对于问题(1)可以先根据题目的条件写出直线方程,再由直线与圆相切,即可求出
的值,进而得到椭圆
的方程;对于问题(2),首先讨论直线
的斜率存在与否,当直线斜率存在时可设出直线
的方程以及
两点的坐标,联立椭圆与直线
的方程,并结合韦达定理即可证出直线
过定点,再验证直线
的斜率不存在时,直线
仍过该定点.
试题解析:(1)∵直线过点
和
,∴直线方程为
,
∵直线与圆
相切,∴
,解得
,
∴椭圆的方程为
(2)当直线的斜率不存在时,设
,则
,由
得
,得
当直线的斜率存在时,设
的方程为
,
,
得,
,
即,
由,
,
即,
故直线过定点
.
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