题目内容
【题目】已知函数,
(Ⅰ)若的图像在
处的切线与直线
垂直,求实数
的值及切线方程;
(Ⅱ)若过点存在3条直线与曲线
相切,求
的取值范围
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(I)利用导数求得函数图像在处切线的斜率,根据两条直线垂直斜率的关系列方程,解方程求得
的值,求得切点坐标后求出切线方程.(II)设切点坐标
,利用导数求得切线方程,将
代入切线方程并化简,构造函数
,将
条切线问题转化为直线
与
有三个不同交点问题来解决,利用导数求得
的极大值和极小值,由此求得
的取值范围.
(Ⅰ)由得
,于是在
处的切线的斜率为
.
由于切线与直线垂直,所以
. 故实数
的值为
.
当时,切点为
,切线为
;
当时,切点为
,切线为
.
(Ⅱ)设切点坐标,切线斜率为
,则有
,所以切线方程为:
因为切线过,所以将
代入直线方程可得:
,
所以问题等价于方程,令
,
即直线与
有三个不同交点.
由,令
解得
,
所以在
单调递减,在
单调递增.
的极大值为
,极小值为
,所以若有三个交点,则
,
所以当时,过点
存在
条直线与曲线
相切 .
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知某种植物每日平均增长高度(单位:
)与每日光照时间
(单位:
)之间的关系有如下一组数据:
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 3.5 | 5.2 | 7 | 8.6 | 10.7 |
(1)求关于
的回归直线方程;
(2)计算相关指数的值,并说明回归模型拟合程度的好坏;
(3)若某天光照时间为8.5小时, 预测该天这种植物的平均增长高度(结果精确到0.1)
参考公式及数据:,
,
,
,
,
【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.
非一线城市 | 一线城市 | 总计 | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
总计 | 58 | 42 | 100 |
附表:
由算得,
,
参照附表,得到的正确结论是
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
C. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”