题目内容
过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为 α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2+y2=
有公共点，则 α的取值范围是
| 3 |
| 4 |
[
，
]∪[
，
]
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 4 |
[
，
]∪[
，
]
．| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 4 |
分析：设出弦所在的直线方程，代入抛物线y2=4x化简，利用一元二次方程根与系数的关系求得 x1+x2=2+
．根据弦的长度不超过8，结合抛物线的定义可得|AB|=2+x1+x2≤8，由此求得k的范围．再由圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径，求得k的范围．最后把这2个k的范围取交集，可得k的准确范围．由于k的范围就是tanα的范围，再由0≤α＜π求得α的范围．
| 4 |
| k2 |
解答：解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），当α=90°时，|AB|=2p=4＜8，故不满足条件，
故α≠90°．
设弦所在的直线方程为 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入抛物线y2=4x可得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+
．
由于弦长度不超过8，且由抛物线的定义可得|AB|=2+x1+x2，∴2+
≤6，k2≥1，
故有 k≤-1，或 k≥1 ①．
再由弦所在的直线与圆x2+y2=
有公共点，可得圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径，
即
≤
．
解得-
≤k≤
，且 k≠0 ②．
由①②可得 1≤k≤
，或-
≤k≤-1，即 1≤tanα≤
或-
≤tanα≤-1．
再由 0≤α＜π可得，α的范围是[
，
]∪[
，
]，
故答案为[
，
]∪[
，
]．
故α≠90°．
设弦所在的直线方程为 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入抛物线y2=4x可得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+
| 4 |
| k2 |
由于弦长度不超过8，且由抛物线的定义可得|AB|=2+x1+x2，∴2+
| 4 |
| k2 |
故有 k≤-1，或 k≥1 ①．
再由弦所在的直线与圆x2+y2=
| 3 |
| 4 |
即
| |0-0-k| | ||
|
| ||
| 2 |
解得-
| 3 |
| 3 |
由①②可得 1≤k≤
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
再由 0≤α＜π可得，α的范围是[
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 4 |
故答案为[
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 4 |
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，抛物线的定义和标准方程的应用，三角不等式的解法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
倾斜角为
的直线过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（ ）
| π |
| 4 |
A、
| ||
B、8
| ||
| C、16 | ||
| D、8 |
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（ ）
| A、5 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|