题目内容
设F1、F2分别是椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF1|+|PF2|=8，△PF1F2的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求
•
的最大值和最小值；
（3）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D．使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）求
| PF1 |
| PF2 |
（3）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D．使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用|PF1|+|PF2|=8，△PF1F2的周长为12，可得2a=8，2a+2c=12，从而可求椭圆的方程；
（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），设P（x，y），则
•
=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2+y2-4=
x2+8，根据x∈[-4，4]，可得x2∈[0，16]，从而可求
•
的最大值和最小值；
（3）直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-8），与椭圆方程联立
，消元得一元二次方程，从而可求CD的中点的坐标，利用|BC|=|BD|，可得BT⊥CD，从而可建立方程，故可解．
（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），设P（x，y），则
| PF1 |
| PF2 |
| 1 |
| 4 |
| PF1 |
| PF2 |
（3）直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-8），与椭圆方程联立
|
解答：解：（1）由题设，2a=8，2a+2c=12，∴a=4，c=2，∴b2=a2-c2=12，∴椭圆的方程为
+
=1；
（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），设P（x，y），则
•
=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2+y2-4=
x2+8
∵x∈[-4，4]，∴x2∈[0，16]，∴8≤
•
≤12
当且仅当点P为短轴端点时，
•
有最小值8；点P为长轴端点时，
•
有最大值12．
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-8）
由方程组
，消元得（4k2+3）x2-64k2x+16（16k2-3）=0
∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，
∴△=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴-
＜k＜
设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x0，y0）
∴x1+x2=
，x0=
=
，y0=k(x0-5)=
∴T（
，
）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵kBT=
=
∴k•kBT=
=-1，方程无解
∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），设P（x，y），则
| PF1 |
| PF2 |
| 1 |
| 4 |
∵x∈[-4，4]，∴x2∈[0，16]，∴8≤
| PF1 |
| PF2 |
当且仅当点P为短轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
| PF1 |
| PF2 |
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-8）
由方程组
|
∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，
∴△=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x0，y0）
∴x1+x2=
| 64k2 |
| 4k2+3 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 32k2 |
| 4k2+3 |
| -24k |
| 4k2+3 |
∴T（
| 32k2 |
| 4k2+3 |
| -24k |
| 4k2+3 |
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵kBT=
| ||
|
| -24k |
| 24k2-6 |
∴k•kBT=
| -24k2 |
| 24k2-6 |
∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查探究性问题，通常假设存在，从而问题得解．
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