题目内容

已知抛物线过点
(I)求抛物线的方程;
(II)已知圆心在轴上的圆过点,且圆在点的切线恰是抛物线在点的切线,求圆的方程;
(Ⅲ)如图,点轴上一点,点是点关于原点的对称点,过点作一条直线与抛物线交于两点,若,证明: .
(I);(II);(Ⅲ)见解析。

试题分析:(I)
(II)由   得 所以抛物线 在点处切线的斜率为
过点且与切线垂直的直线方程为:,即,令
圆心,半径
的方程为:
(Ⅲ)设直线AB的方程为 代入抛物线方程    
设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程①的两根.
所以   ①

 ②
由①、②可得
又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,-m),从而.




所以 
点评::研究直线与抛物线的综合问题,通常的思路是:转化为研究方程组的解的问题,利用直线方程与抛物线方程所组成的方程组消去一个变量后,将交点问题(包括公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题,结合根与系数的关系及判别式解决问题。
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