Question

【题目】已知动点到定点的距离比到轴的距离多.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）证明见解析，定点

【解析】

（1）设，由题意可知，对的正负分情况讨论，从而求得动点的轨迹的方程；

（2）设其方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，所以，所以直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点．

（1）设，

动点到定点的距离比到轴的距离多，

，时，解得，

时，解得.

动点的轨迹的方程为或

（2）证明：如图，设，，

由题意得（否则）且，

所以直线的斜率存在，设其方程为，

将与联立消去，得，

由韦达定理知，，①

显然，，

，，

将①式代入上式整理化简可得：，

所以，

此时，直线的方程可表示为，

即，

所以直线恒过定点.