已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.F1.F2分别是椭圆的左.右焦点.直线l过点F2与椭圆交于A.B两点.且△F1AB的周长为4$\sqrt{2}$．(1)求椭圆C的标准方程,(2)是否存在直线l使△F1AB的面积为$\frac{4}{3}$?若存在.求出直线l的方程,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线l过点F₂与椭圆交于A、B两点，且△F₁AB的周长为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在直线l使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析（1）运用离心率公式和椭圆的定义，可得a，c，求出b，即可得到椭圆方程；
（2）假设存在直线l，使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$．求出椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的焦点，设直线l：x=1或y=k（x-1），代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理，再由三角形的面积为$\frac{1}{2}$×2×|y₁-y₂|=$\frac{4}{3}$，解方程即可得到k．

解答解：（1）由题意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由△F₁AB的周长为4$\sqrt{2}$，根据椭圆的定义可得
4a=4$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，
即有c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）假设存在直线l，使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$．
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
设直线l：x=1或y=k（x-1），
当x=1时，y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，|AB|=$\sqrt{2}$，
△F₁AB的面积为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，不成立；
由y=k（x-1）代入椭圆方程得，
（1+2k²）x²-4k²x-2+2k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{8（1+{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
则|y₁-y₂|=|k|•|x₁-x₂|=|k|•$\frac{\sqrt{8（1+{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
即有△F₁AB的面积为$\frac{1}{2}$×2×|y₁-y₂|=$\frac{4}{3}$，
解得k²=1或-2（舍去）．
即有k=±1．
故存在直线l：y=±（x-1），使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$．