题目内容
【题目】已知函数的定义域为
,设
,
.
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数在
上为单调函数;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在
,满足
,又若方程
在
上有唯一解,请确定t的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)求导得,从而可得
在
,
上递增,在
上递减,从而确定
的取值范围;
(Ⅱ)借助(Ⅰ)可知,在
处取得极小值
,求出
,则
在
,
上的最小值为
,从而得证;
(Ⅲ)化简,从而将
化为
,令
,则证明方程
在
上有解,并讨论解的个数;由二次函数的性质讨论即可.
(Ⅰ)因为,
令,得:
或
;令
,得:
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
要使在
为单调函数,则
所以的取值范围为
(Ⅱ)证:因为在
上单调递增,在
上单调递减,所以
在
处取得极小值
.
又,所以
在
的最小值为
,
从而当时,
,即
.
(Ⅲ)证:因为,所以
,即为
令,从而问题转化为证明方程
在
上有解,
并讨论解的个数,因为,
当或
时,
,所以
在
上有解,且只有一解.
②当时,
且
,但由于
,所以
在
上有解,且有两解
③当时,由
得:
或
,
在
上有且只有一解;
当时,由
得:
或
,所以
在
上也只有一解
综上所述,对任意的,总存在
当方程在
上有唯一解,
的取值范围为
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