Question

【题目】已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率，∠F1AF2的平分线所在直线为l．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；

（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）点Q的坐标；2x-y-1=0 （3）不存在

【解析】

（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；
（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；
（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2x-y-1=0上，即可得到结论．

（1）设椭圆方程为（a＞b＞0）∵椭圆E经过点A（2，3），离心率e= 解得a2=16，b2=12．
∴椭圆方程E为：.

（2）F1（-2，0），F2（2，0），∵A（2，3），∴AF1方程为：3x-4y+6=0，AF2方程为：x=2
设角平分线上任意一点为P（x，y），得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率为正，∴直线方程为2x-y-1=0；l与x轴的交点为Q，点Q的坐标。

（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，∴kBC=-，∴直线BC方程为y=-x+m代入椭圆方程得x2-mx+m2-12=0，∴BC中点为，代入直线2x-y-1=0上，得m=4．∴BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．