Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别在线段AB₁，BC₁上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（　　）
①AA₁⊥MN       
②异面直线AB₁，BC₁所成的角为60°
③四面体B₁-D₁CA的体积为

1

3

④A₁C⊥AB₁，A₁C⊥BC₁．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据正方体的性质和线面平行、性质的性质，可证出AA₁⊥MN，得到①正确；根据异面直线所成角的定义与正方体的性质可得异面直线AB₁，BC₁所成的角为60°，得到②正确；根据正方体、锥体的体积公式加以计算，可得
四面体B₁-D₁CA的体积为

1

3

，得到③正确；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质可证出A₁C⊥AB₁且A₁C⊥BC₁，得到④正确．即可得到本题答案．

解答：解：对于①，分别作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E、F，连结EF
由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形
∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥MN，因此可得①正确；
对于②，连结B₁D₁、AD₁，可得∠B₁AD₁就是异面直线AB₁，BC₁所成的角
∵△B₁AD₁是等边三角形，∴∠B₁AD₁=60°
因此异面直线AB₁，BC₁所成的角为60°，得到②正确；
对于③，四面体B₁-D₁CA的体积为
V=VABCD-A1B 1C1D1-4VB1-ABC=1-4×

1

6

=

1

3

，得到③正确；
对于④，根据A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，得到A₁B₁⊥BC₁，
由正方形BB₁C₁C中证出B₁C⊥BC₁，所以BC₁⊥平面A₁B₁C，
结合A₁C?平面A₁B₁C，得A₁C⊥BC₁，同理可证出A₁C⊥AB₁，从而得到④正确
综上所述，四个命题都是真命题
故选：D

点评：本题给出正方体中的几个结论，判断其正确与否，着重考查了正方体的性质、线面垂直与平行的判定与性质、异面直线所成角的定义与求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．