题目内容
已知函数,,其中的函数图象在点处的切线平行于轴.
(1)确定与的关系; (2)若,试讨论函数的单调性;
(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点()证明:.
(1);(2)当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.(3)详见解析。
解析试题分析:(1)由导数的几何意义可知,即可得与的关系。(2)先求导数,及其零点,判断导数符号,即可得原函数增减变化,注意分类讨论。(3)由可得。然后分别证明不等式的左右两侧,两侧不等式的证明均需构造函数,再利用函数的单调性证明。
试题解析:解:(1)依题意得,则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得:
∴ 4分
(2)由(1)得
∵函数的定义域为
①当时,
由得,由得,
即函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;
②当时,令得或,
若,即时,由得或,由得,
即函数在,上单调递增,在单调递减;
若,即时,由得或,由得,即函数在,上单调递增,在单调递减;
若,即时,在上恒有,即函数在上单调递增.
综上得:当时,函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;
当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,
当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.
9分
(3)依题意得
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