Question

5．用多种方法求函数y=2x+$\sqrt{x-1}$最小值．（换元法或单调性）

Answer 1

分析 换元，利用配方法，结合函数的单调性，即可求出函数的最小值；单调性法：由y=2x及y=$\sqrt{x-1}$同时在x≥1递增，知道y=2x+$\sqrt{x-1}$在x≥1也递增，即可求出函数的最小值．

解答 解：用换元法，令$\sqrt{x-1}$=t，则x=t²+1（t≥0），
y=2（t²+1）+t=2（t+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{8}$，
∵t≥0，
∴函数在[0，+∞）上单调递增，
∴t=0时，函数取得最小值2；
单调性法：由y=2x及y=$\sqrt{x-1}$同时在x≥1递增，知道y=2x+$\sqrt{x-1}$在x≥1也递增，
∴在x=1时最小值是x=1时y=2×1+0=2．

点评 本题考查函数的最小值，考查换元法，考查函数的单调性，属于中档题．