题目内容
【题目】设函数f（x）= 
﹣k（ 
+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）． （Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）= 
﹣k（ 
﹣ 
）
= 
（x＞0），
当k≤0时，kx≤0，
∴ex﹣kx＞0，
令f′（x）=0，则x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，
故f（x）在（0，2）内不存在极值点；
当k＞0时，设函数g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．
∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk ，
当0＜k≤1时，
当x∈（0，2）时，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）单调递增，
故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；
当k＞1时，
得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，
x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，
∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点
当且仅当 
解得：e 
综上所述，
函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e， 
）
【解析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况即可以解答此题．
【题目】（本小题满分12分） 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过
）：
空气质量指数 |
|
|
|
|
|
|
空气质量等级 |
|
|
|
|
|
|
该社团将该校区在
年
天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．
（Ⅰ）请估算
年（以
天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；
（Ⅱ）该校
年
月
、
日将作为高考考场，若这两天中某天出现
级重度污染，需要净化空气费用
元，出现
级严重污染，需要净化空气费用
元，记这两天净化空气总费用为
元，求
的分布列及数学期望．
