题目内容
17．
如图，已知三棱柱ABC---A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别为CC1，BC的中点，点P为直线A1B1上一点，且满足$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，（1）λ=$\frac{1}{2}$时，求直线PN与平面ABC所成角θ的正弦值
（2）若平面PMN与平面ABC所成锐二面角为450，求λ的值．
分析 （1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出$\overrightarrow{PN}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），平面ABC的一个法向量，然后利用直线与平面所成角的计算公式求解即可．
（2）取平面ABC的一个法向量为，求出平面PMN的一个法向量，利用向量的夹角公式求出λ．
解答 解：（1）建立以A点为空间坐标系原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（ 0，1，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）
λ=$\frac{1}{2}$，P（$\frac{1}{2}$，0，1），$\overrightarrow{PN}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1）
平面ABC法向量为$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{PN}\;，\;\overrightarrow{A{A_1}}＞}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
（2）设P（λ，0，1），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}$-λ，$\frac{1}{2}$，-1），
设平面PMN法向量为$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=0}\\{（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}}\right.$，
取$\overrightarrow n=（3\;，\;1+2λ\;，\;2-2λ）$
平面ABC法向量为（0，0，1），
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{|{2-2λ}|}}{{1-\sqrt{{3^2}+{{（1+2λ）}^2}+{{（2-2λ）}^2}}}}=\frac{{|{2-2λ}|}}{{\sqrt{14-4λ+8{λ^2}}}}$，
∴$λ=-\frac{1}{2}$．
点评 本题考查直线与平面所成角的应用，二面角的向量求法，考查空间想象能力以及计算能力．
应用题天天练四川大学出版社系列答案| （x，y） | （n，n） | （m，n） | （n，m） |
| f（x，y） | n | m-n | m+n |
| A． | a2＞b2 | B． | ac＞bc | C． | |a|＞|b| | D． | 2a＞2b |
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
