题目内容

【题目】设函数f(x)=|ex﹣e2a|,若f(x)在区间(﹣1,3﹣a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是

【答案】(﹣
【解析】解:当x≥2a时,f(x)=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a , 此时为增函数,
当x<2a时,f(x)=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a , 此时为减函数,
即当x=2a时,函数取得最小值0,
设两个切点为M(x1 , f(x1)),N((x2 , f(x2)),
由图象知,当两个切线垂直时,必有,x1<2a<x2
即﹣1<2a<3﹣a,得﹣ <a<1,
∵k1k2=f′(x1)f′(x2)=ex1(﹣ex2)=﹣ex1+x2=﹣1,
则ex1+x2=1,即x1+x2=0,
∵﹣1<x1<0,∴0<x2<1,且x2>2a,
∴2a<1,解得a<
综上﹣ <a<
所以答案是:(﹣ ).

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