题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是边长为
的菱形,且
,侧面
为等边三角形,且与底面
垂直,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意取CD中点O,则AO⊥CD,PO⊥底面ABCD,分别以OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得相关点的坐标,由可得;
(Ⅱ)设直线与平面
所成角为
,求出直线
的方向向量和面
的法向量,根据
即可得解.
试题解析:
由底面为菱形且
,∴
,
是等边三角形,
取中点
,有
,
∴为二面角
的平面角, ∴
.
分别以所在直线为
轴,建立空间直角坐标系如图,
则.
(Ⅰ)由为
中点,
∴
∴
(Ⅱ)由,
,∴
,
∴ 平面的法向量可取
, 设直线
与平面
所成角为
,
则.
即直线与平面
所成角的正弦值为
.
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