Question

（2006•朝阳区二模）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是

32

3

π，那么这个球的半径是

2

，三棱柱的体积是

48

3

．

Answer 1

分析：由球的体积公式算出半径R=2，结合题意得出正三棱柱的高h=2R=4．由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和底面正三角形边长的关系，算出出边长a=4

3

，进而可得该三棱柱的体积．

解答：解：设球半径为R，则
由球的体积公式，得

4

3

πR³=

32

3

π，解之得R=2．
∵球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，
∴正三棱柱的高h=2R=4．
设正三棱柱的底面边长为a，可得其内切圆的半径为
r=

1

3

×

3

2

a=2，解之得a=4

3

．
从而得出该正三棱柱的体积为
V=S_底•h=

1

2

×a×asin60°×h=

3

4

•（4

3

）²×4=48

3

故答案为：2，48

3

点评：本题给出与正三棱柱各个侧面都相切的球，在已知球体积的情况下求三棱柱的体积．着重考查了正三棱柱的性质、球的体积公式和正三角形的内切圆等知识，属于中档题．