Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），则称m为离实数x最近的整数，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的五个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]；
②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
③函数y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函数；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
⑤函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称．
其中正确的命题有（　　）个．

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究，从而可得函数的图象，利用函数的图象即可求得结论．

解答：解：由题意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0时，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1时，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2时，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由图象可知正确命题为①②④，
故选B．

点评：本题是新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想，解题的关键是正确作出函数的图象．