题目内容
【题目】已知椭圆:
的一个焦点为
,离心率为
.
(1)求的标准方程;
(2)若动点为
外一点,且
到
的两条切线相互垂直,求
的轨迹
的方程;
(3)设的另一个焦点为
,过
上一点
的切线与(2)所求轨迹
交于点
,
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】
(1)利用题中条件求出的值,然后根据离心率求出
的值,最后根据
三者的关系求出
的值,从而确定椭圆C的标准方程;
(2)设,切点分别为
,
,当
时,设切线方程为
,与椭圆联立消去
,得
,根据根的判别式
,化简得
,又因为
在椭圆
外,
.又因为
,所以
,即
,化简为
,
整理即可得的轨迹方程.
(3)设,先求
.方法一:由相交弦定理,得
.
方法二:切线的参数方程,将
代入圆
,因为点
在圆
内,整理可得
.再利用公式求
,所以
证得.
(1)解:设,
由题设,得,
,所以
,
,
所以的标准方程为
.
(2)解:如图,设,切点分别为
,
,
当时,设切线方程为
,
联立方程,得,
消去,得
,①
关于的方程①的判别式
,
化简,得,②
关于的方程②的判别式
,
因为在椭圆
外,
所以,即
,所以
.
关于的方程②有两个实根
,
分别是切线
,
的斜率,
因为,所以
,即
,化简为
,
当时,可得
,满足
,
所以的轨迹方程为
.
(3)证明:如图,设,先求
.
方法一:由相交弦定理,得
.
方法二:切线的参数方程为
(
为参数),
,
代入圆,整理得
,
因为点在圆
内,
所以上述方程必有两个不等实根,
,
,且
,
所以,
当时,
,仍有
.
再求.
,
因为点在椭圆
上,所以
,即
,
所以,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:
消费次第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
|
收费比率 |
该公司注册的会员中没有消费超过次的,从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下:
消费次数 |
|
|
|
|
|
人数 |
假设汽车美容一次,公司成本为元,根据所给数据,解答下列问题:
(1)某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;
(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为元,求
的分布列和数学期望
.