Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，BB₁的中点，
（1）求DF与平面ABCD成角的正切值； 
（2）求证：EF⊥平面A₁D₁B．

Answer 1

分析：（1）利用正方体的性质及线面角的定义即可得出；
（2）利用正方体的性质、三角形的中位线定理、线面垂直的判定和性质定理即可得出．

解答：（1）解：如图所示：由正方体可知：B₁B⊥底面ABCD，∴∠FDB为DF与平面ABCD所成的角．
不妨设正方体的棱长AB=2，则BD=2

2

．
∵F分别是BB₁的中点，∴BF=1．
在Rt△BFD中，tan∠BDF=

BF

BD

=

1

2 2

=

2

4

．
∴DF与平面ABCD成角的正切值是

2

4

．
（2）∵E，F分别是AB，BB₁的中点，∴EF∥AB₁．
∵A₁B⊥AB₁，∴EF⊥A₁B．
由正方体可知：D₁A₁⊥EF，又D₁A₁∩A₁B=A₁．
∴EF⊥平面A₁BD₁．

点评：熟练掌握正方体的性质、线面角的定义、三角形的中位线定理、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键．