题目内容
【题目】已知函数,函数
.
(1)讨论函数的极值;
(2)已知函数,若函数
在
上恰有三个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)对求导,分
和
两种情况,分别讨论
的正负性,可得到
的单调性,进而可求得极值;
(2)易知有且仅有一个零点
,且
时
,从而可知
有两个零点,结合(1)知
不符合题意,
时,讨论
的极值,并结合零点存在性定理可求出答案.
(1)的定义域为
,
,
当时,
在
恒成立,∴
在
单调递减,故
无极值,
当时,由
得
.
当时,
,则
单调递减;当
时,
,则
单调递增,
∴在
处取得极小值,
,
无极大值.
综上,当时,
无极值;当
时,
有极小值
,无极大值.
(2)若是
的零点,则必有
或
,∴
的零点必为
或
的零点,
而有且仅有一个零点
,且
,
时
.
①当时,由(1)知
在
单调递减,至多只有一个零点,此时
至多只有两个零点,不合题意,舍去;
②当时,由(1)知
在
单调递减,在
单调递增,则
.
i)当即
时,
至多只有一个零点
,此时
至多只有两个零点,不合题意,舍去;
ii)当即
时,
,
,
由零点存在性定理知使得
.
令,
,则
在
单调递增,在
单调递减,
∴,∴
,
,
当时,
,
∴,又
,
∴由零点存在性定理知使得
,
∴,
;
,
;
,
,
∴当时,
有三个零点,满足题意.
综上,实数的取值范围为
.

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