题目内容

13.已知x1,x2是函数f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d的两个极值点,且满足1<x1<x2<2,a,b,c∈Z,则当正整数a取得最小值时,b-c=(  )
A.-5B.-4C.-3D.-2

分析 先求导,x1,x2是函数f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d的两个极值点,x1,x2是f′(x)=ax2+bx+c=0的两个根,
由于二次方程和二次函数的关系,令g(x)=ax2+bx+c,则有判别式大于0,且f(1)≥0,f(2)≥0,对称轴x=-$\frac{b}{2a}$介于1和2之间,先求得a=1,再求b=-3,再由不等式可得c=2,进而得到b+c=-1

解答 解:∵f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d,
∴f′(x)=ax2+bx+c,
∵x1,x2是函数f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d的两个极值点,
∴x1,x2是f′(x)=ax2+bx+c=0的两个根,
∵1<x1<x2<2,a,b,c∈Z
令g(x)=ax2+bx+c,
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4ac>0}\\{a>0}\\{g(1)≥0}\\{g(2)≥0}\\{1<-\frac{b}{2a}<2}\end{array}\right.$,(a,b,c∈Z),
当正整数a取得最小值1时,
即有$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4c>0}\\{1+b+c≥0}\\{4+2b+c≥0}\\{2<-b<4}\end{array}\right.$(a,b,c∈Z),
则有b=-3,
即有2≤c<$\frac{9}{4}$,c∈Z,
则c=2,
即有b+c=-3-2=-5,
故选:A

点评 本题考查二次方程的实根分布以及导数和函数零点的问题,主要考查二次函数的图象和性质,运用不等式的性质是解题的关键,属于中档题

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