Question

13．已知集合A={x|a（x-1）+$\frac{4+2\sqrt{3}}{x+1}$=2$\sqrt{3}$}，且集合A有且仅有两个子集，求实数a的值以及对应的两个子集．

Answer 1

分析 利于已知条件，判断集合A只有一个元素，即可求解x与a，以及子集．

解答 解：集合A={x|a（x-1）+$\frac{4+2\sqrt{3}}{x+1}$=2$\sqrt{3}$}，且集合A有且仅有两个子集，
可得集合A只有一个元素，
即a（x-1）+$\frac{4+2\sqrt{3}}{x+1}$=2$\sqrt{3}$只有一个解．
a=0满足题意，此时x=$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-1$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
a≠0时，方程化为：ax²-2$\sqrt{3}$x+4-a²=0，∴△=12-16a+4a²=0，
解得a=1此时x=$\sqrt{3}$或a=3，此时x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
综上，实数a=0时，对应的两个子集∅，{$\frac{2\sqrt{3}}{3}$}；
实数a≠0时，对应的两个子集∅，{$\sqrt{3}$}；
实数a=1时，对应的两个子集∅，{$\sqrt{3}$}；
实数a=3时，对应的两个子集∅，{$\frac{\sqrt{3}}{3}$}；

点评 本题考查好的与方程的应用，分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力．